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Power series

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These power series are also examples of Taylor series. A power series will converge for some values of the variable x and may diverge for others.

The number r is called the radius of convergence of the power series; in general it is given as. That is, the series is absolutely and compactly convergent on the interior of the disc of convergence.

In the case of complex variables, we can only claim continuity along the line segment starting at c and ending at x. When two functions f and g are decomposed into power series around the same center c , the power series of the sum or difference of the functions can be obtained by termwise addition and subtraction.

It can be differentiated and integrated quite easily, by treating every term separately:. A function f defined on some open subset U of R or C is called analytic if it is locally given by a convergent power series.

Every power series with a positive radius of convergence is analytic on the interior of its region of convergence.

All holomorphic functions are complex-analytic. Sums and products of analytic functions are analytic, as are quotients as long as the denominator is non-zero.

If a function is analytic, then it is infinitely differentiable, but in the real case the converse is not generally true. For an analytic function, the coefficients a n can be computed as.

This means that every analytic function is locally represented by its Taylor series. The global form of an analytic function is completely determined by its local behavior in the following sense: If a power series with radius of convergence r is given, one can consider analytic continuations of the series, i.

The number r is maximal in the following sense: The power series expansion of the inverse function of an analytic function can be determined using the Lagrange inversion theorem.

The sum of a power series with a positive radius of convergence is an analytic function at every point in the interior of the disc of convergence.

However, different behavior can occur at points on the boundary of that disc. In abstract algebra , one attempts to capture the essence of power series without being restricted to the fields of real and complex numbers, and without the need to talk about convergence.

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